حياة

كيفية حساب التباين في توزيع بواسون

كيفية حساب التباين في توزيع بواسون

التباين في توزيع متغير عشوائي هو ميزة مهمة. يشير هذا الرقم إلى انتشار التوزيع ، ويمكن العثور عليه عن طريق تربيع الانحراف المعياري. أحد التوزيع المنفصل شائع الاستخدام هو توزيع Poisson. سنرى كيفية حساب التباين في توزيع Poisson مع المعلمة λ.

توزيع بواسون

يتم استخدام توزيعات Poisson عندما يكون لدينا سلسلة متصلة من نوع ما ونقوم بحساب التغييرات المنفصلة داخل هذه السلسلة. يحدث هذا عندما نأخذ في الاعتبار عدد الأشخاص الذين يصلون إلى عداد تذاكر السينما خلال ساعة واحدة ، أو تتبع عدد السيارات التي تسير عبر تقاطع مع توقف في أربعة اتجاهات أو حساب عدد العيوب التي تحدث بطول من الأسلاك.

إذا وضعنا بعض الافتراضات التوضيحية في هذه السيناريوهات ، فعندئذٍ تتطابق هذه المواقف مع شروط عملية Poisson. نقول بعد ذلك أن المتغير العشوائي ، الذي يحسب عدد التغييرات ، له توزيع بواسون.

يشير توزيع بواسون في الواقع إلى عائلة لا حصر لها من التوزيعات. تأتي هذه التوزيعات مجهزة بمعلمة واحدة λ. المعلمة هي رقم حقيقي موجب يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالعدد المتوقع من التغييرات التي يتم ملاحظتها في الاستمرارية. علاوة على ذلك ، سنرى أن هذه المعلمة تساوي ليس فقط متوسط ​​التوزيع ولكن أيضًا تباين التوزيع.

تُعطى دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع Poisson بواسطة:

F(س) = (λس البريد)/س!

في هذا التعبير ، الرسالة البريد هو رقم وهو الثابت الرياضي بقيمة تساوي تقريبًا 2.718281828. المتغير س يمكن أن يكون أي عدد صحيح غير سالب.

حساب التباين

لحساب متوسط ​​توزيع Poisson ، نستخدم وظيفة توليد اللحظية لهذا التوزيع. نحن نرى ذلك:

M( تي ) = هالبريدTX = Σ البريدTXF( س) = ΣالبريدTX λس البريد)/س!

نذكر الآن سلسلة ماكلورين ل البريدش. منذ أي مشتق من وظيفة البريدش هو البريدش، كل هذه المشتقات تقييمها في صفر تعطينا 1. والنتيجة هي سلسلة البريدش = Σ شن/ن!.

عن طريق استخدام سلسلة ماكلورين ل البريدش، يمكننا التعبير عن وظيفة توليد اللحظة ليس كسلسلة ، ولكن في شكل مغلق. نحن نجمع كل المصطلحات مع الأس س. وهكذا M(تي) = البريدλ(البريدر - 1).

نجد الآن الفرق من خلال أخذ المشتق الثاني لـ M وتقييم هذا عند مستوى الصفر. منذ M'(تي) =λالبريدتيM(تي) ، نستخدم قاعدة المنتج لحساب المشتق الثاني:

M"(تي)=λ2البريد2تيM'(تي) + λالبريدتيM(تي)

نقيم هذا عند الصفر ونجد ذلك M"(0) = λ2 + λ. ثم نستخدم حقيقة ذلك M'(0) = λ لحساب التباين.

فار (X) = λ2 + λ - (λ)2 = λ.

هذا يدل على أن المعلمة λ ليست فقط وسيلة لتوزيع Poisson بل هي أيضًا تباينها.